Éléments d'harmonie

Cet article visait à introduire à l'étude de l'harmonie, à la conception des instruments de musique, à l'éducation de l'oreille et à la compréhension de principes sur lesquels le solfège repose. Il m'a servi à préparer ce que j'ai publié au printemps 2006 sur le forum de Radio Teentaal. L'annexe provient de ce deuxième travail.

SAVANTS ET MUSICIENS QUI ONT FAIT PROGRESSER LA THÉORIE DE LA MUSIQUE

- Pythagore (v. 580-504 av. J.-C.), grec né dans l’île de Samos.

- Aristoxène (IV^ème siècle av. J.-C.), grec de Tarente en Italie.
Son père et son grand-père étaient disciples de Pythagore. Aristoxène écrivit 300 livres. Dans son entourage vivait un certain Archytias.
Aristoxène affectionnait les instruments à corde.
S'il n'aimait pas les instruments à vents, c'est parce que le fonctionnement de ceux-ci était trop difficile à comprendre.

- Gui d’Arezzo (995-1050), moine italien, inventa la portée 
La portée, c'est le support de l’écriture de la musique.

- Giossefe Zarlino (1517-1590), écrivit les Institutions harmoniques (1558).

- John Neper (1517-1550), baron écossais, inventa les logarithmes puis son fils en étudia les propriétés.
Tout se passe comme si le logarithme était une fonction mathématique qui transforme une multiplication en addition, et une division en soustraction.

- Nikolaus Kauffmann (1620-1687), astronome et physicien allemand, a découvert la série logarithmique. 
Kauffmann (en allemand) = Marchand (en français) = Mercator (en latin).

- Nicholas Mercator (ca1640-1694) [fils du précédent ?] a fait faire des progrès vers le tempérament égal.
(Cf. Genesis of a music, de Harry Partch, éd. 1947 augmentée, p. 383).
Le Mercator cartographe est Gerhard Kremer,  mathématicien et géographe flamand, 1512-1594 ; ce n'est pas la même personne.

- Le frère Mersenne (+1688) est l'auteur du traité De l'harmonie universelle.

- Werckmeister (1644-1706) a inventé la gamme tempérée en 1691.

- William Holder (1616–1698), en 1694, a partagé le "ton pythagoricien" en 9 commas, le demi-ton diatonique en valant 4 et le demi-ton chromatique en valant 5.

• Biographie succinte de l'inventeur de "la gamme des violonistes" : https://www.jstor.org/stable/766034?seq=1#page_scan_tab_contents

- Jean-Sébastien Bach (1685-1750), musicien et organiste allemand, a mis cela en pratique.

- Leonhardt Euler (1707-1783), mathématicien suisse, a proposé d’utiliser les logarithmes pour décrire et étudier plus facilement les rapports de hauteur entre les sons.

- Félix Savart (1791-1841), médecin et physicien français, a mesuré le pouvoir discriminant de l’oreille humaine quant aux hauteurs de son.

- Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) est un physicien allemand. 
On a donné son nom à l’unité légale de fréquence (le Hertz ; symbole Hz ; 1 Hz = 1 aller-retour par seconde).

- Hermann von Helmholtz (1821-1894), a écrit en allemand une thèse intitulée les Tonenpfindungen. 
Traduite en anglais, celle-ci a été publiée à Londres en 1885 sous le titre On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music.

- James Murray Barbour est le chercheur américain qui a écrit une thèse intitulée Equal temperament : its history from Ramsis (1482) to Rameau (1737).
Le manuscrit de celle-ci, daté de 1932, se trouve à la bibliothèque de l’Université de Cornell, Ithaca, U.S.A. .

Un peu de maths, un peu d'histoire...

Rappel de mathématiques : notion de fonction

Rappelons qu'une fonction, c'est par définition toute correspondance particulière entre des éléments d'un ensemble de départ -- ces éléments peuvent être des nombres -- et des éléments d'un ensemble d'arrivée -- ces éléments peuvent aussi être des nombres --, de façon à ce que tout  élément de l'ensemble de départ ait un correspondant et un seul dans l'ensemble d'arrivée (un élément de l'ensemble de départ  a un correspondant et un seul dans l'ensemble d'arrivée, par contre, chaque élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir un ou plusieurs correspondants dans l'ensemble de départ).

Rappel de mathématiques : fonction inverse

La fonction inverse, par définition, c'est la fonction y(x) définie par la formule :  y = 1/x .

Rappel de mathématiques : fonction Logarithme

La fonction Logarithme, par définition, c'est la primitive de cette fonction inverse.

Pour ne pas alourdir inutilement les rappels de mathématiques, on n'exposera pas ici, ce qu'est la dérivée d'un fonction. On dira seulement que la primitive, c'est la notion inverse de la notion de dérivée et on invitera tous ceux qui souhaitent rafraîchir leurs connaissances en maths à lire vite fait : http://www.cyberprofs.fr/logarithme_exponentielle.htm .

Note historique

C'est Neper, un Écossais, qui, au XVII° siècle a trouvé - ou redécouvert - la  fonction Log.

L'application des logarithmes à la musique a été proposée au XVIII° siècle par le mathématicien Euler (1707-1783), un Allemand, après que Werckmeister (1645-1706) eût proposé de réduire un tout petit peu les quintes, de façon à ce que 12 quintes faibles puissent égaler exactement 7 octaves. C'est Euler, le premier, qui a proposé d'appliquer aux rapports de fréquences entre les vibrations sonores la propriété remarquable des logarithmes énoncée plus haut.

Au milieu du XVIII°, les "élémens de musique théorique et pratique", un manuel approuvé par Condillac en novembre 1751 et publié à Paris en 1752, et dont on sait qu'il a été écrit par Jean Le Rond d'Alembert, manuel qui vulgarise les théories de Jean-Philippe Rameau, présente les échelles non tempérées et l'échelle tempérée. Ce manuel est l'un des ouvrages de référence de l'exposé qui va suivre. On y trouve décrite une description d'accorder le clavecin à la mode de Werckmeister (sans que celui-ci soit nommé) et la justification théorique avec les nombres  racine de deux, racine cubique de deux, racine quatrième de deux, etc. jusqu'à racine douzième de deux.

L'échelle tempérée va permettre de faire avancer d'un grand pas la conception des orgues : ceci vont pouvoir devenir plus grands et plus complexes. Pourquoi la convention d'avoir pris un LA comme note de référence ? On dit que c'est parce ce LA est en plein milieu de l'ensemble des notes jouées par l'orgue.

L'échelle tempérée va aussi permettre l'éclosion de la musique d'orchestre au XIX° siècle.

De nos jours, les échelles non tempérées ne sont plus enseignées. 

On trouve encore dans la littérature des traces de débats qui remontent à la plus haute Antiquité mais qui sont brouillons et passionnés et où, par ignorance, beaucoup de ceux qui y prennent part mélangent tout. On en trouve trace aussi dans le solfège.

Fournir des éléments pour y voir clair est  le but du présent exposé. 

Les principales applications pratiques sont la compréhension de la conception des instruments de musique et la composition musicale.

Pour celle-ci, le lecteur pourra utiliser les logiciels 
- Pizzicato  
(de chez Arpège-Musique à Liége ; disponible gratuitement sur l'internet, mais à l'essai seulement  : http://www.arpegemusique.com/ ) 
- et Zarlino
(du Suisse Olivier Bettens et de deux Français, téléchargeable gratuitement depuis l'internet à l'adresse suivante :  http://virga.org/zarlino/ ).

Ce petit exposé tout modeste est du genre des écrits de théorie de la musique de mes illustres prédécesseurs : dans l'Antiquité Pythagore - qu'on ne connaît que par Boèce -, Aristoxène de Tarente et Ptolémée, puis Zarlino au XVI° - controverse avec Galilée -, le père Mersenne au XVII°, Rameau et d'Alembert au XVIII°, au XIX° Helmholtz et au XX° Olivier Bettens.

Il utilise évidemment la mesure du pouvoir discriminant de l'oreille effectuée par Savart et la proposition faite par Ellis au XIX° de représenter l'octave par une échelle de  1200 "cents" ; 
nous dirons ici 1200 points ; avec un barreau tous les 100 points.

Allez, encore un peu de maths !...

Rappelons une propriété caractéristique et essentielle de la fonction logarithme : celle-ci permet de transformer une multiplication en addition et une division en soustraction. 

En effet : 

Log (a  b) = Log a  +  Log b

Log (a / b) = Log a  -  Log b

Soit la fonction y = (1200 / Log 2) Log x

Application numérique :
 x = 2 ==> y = 1200   ;   x = 3 ==> y = 1902    ;    x = 5 ==> y = 2786
 x = 3/2 ==> y = 702  ;   x = 5/4 ==> y = 386  ;  x = 1/2 ==> y = - 1200
etc. (on trouvera plein de détails dans la suite).

De la propriété fondamentale de la fonction logarithme, on tire que  : 
 Log  aⁿ = n   Log a

Par exemple : Log a ¹² = 12  Log a  ;  et aussi : Log a-¹²  = -12  Log a

 a ¹², c'est a multiplié 12 fois par lui-même ;  a-¹²  = 1 / a ¹²
        (autrement dit :  a- ¹² est l'inverse de a¹²) ;
 a^1/12, c'est le nombre qui, multiplié 12 fois par lui même, est tel que le résultat de cette multiplication est a.

Ainsi, par exemple,
 a², c'est le carré de a
 a^1/3, c'est la racine cubique de a

On dit aussi (et on note) "racine n-ième de a " pour "a puissance 1/n" ; c'est la même chose :

"racine n-ième   de a" = "a puissance 1/n"

Par contre :
 "a puissance -n", c'est "1 / a puissance n"  (et en effet, Log 1 = 0)

Les nombres
 x = racine 12ème de 2⁰ qui est 1, c'est 1
 x = racine 12ème de 2¹, c'est-à-dire racine 12ème de 2
 x = racine 12ème de 2²,
 x = racine 12ème de 2³,
etc.
ont pour image par la fonction définie plus haut
[ y = (1200 / Log 2). Log x ] :
 y = 0
 y = 100,
 y = 200,
 y = 300,
etc.

Au passage remarquons que 
"racine n-ième de (a puissance p)" = "(racine n-ième de a )puissance p)"
(en effet :
chacun des deux membres de cette égalité peut aussi s'écrire "a ^p/n" )

Juste un peu de physique, d'acoustique et de physiologie, et... encore des maths !

Toute fréquence f, notre oreille :
a) la reconnaît plus ou moins selon sa hauteur absolue - ça dépend des gens
b) reconnaît son écart relatif à une fréquence qu'on vient de lui donner comme référence ou qu'elle a pris comme référence - c'est vrai pour tout le monde.

Dans ce qui suit, on s'intéresse le plus souvent au rapport entre une fréquence f donnée et toute fréquence f_o prise comme référence : x = (f / f_o). On est le plus souvent dans le domaine du relatif.

Convenir que fréquence f_o  vaut 1,
 c'est convenir que Log f_o = 0 (puisque Log 1 = 0)
et c'est faire de f_o un zéro de l'échelle dans un monde image du monde réel (le monde de la représentation du réel). Il suffit de donner à f_o sa vraie valeur en hertz pour avoir alors la valeur en hertz de toutes les autres fréquences qu'on aura considérées.

La racine douzième de deux, elle est égale à  1,059 463 094 358.
Soit a cette valeur.
(Dans les calculs qui suivent, on la confondra avec sa valeur arrondie par défaut, à neuf chiffres après la virgule seulement, au lieu de douze).

Celle ci élevée au carré [= a²], c'est la racine sixième de deux.

Il est facile de calculer le tableau suivant :

Pour en faciliter la lecture, on ajoute une colonne où l'on met une valeur approchée de x.
Attention cependant, dans des calculs que l'on pourrait être amener à effectuer par la suite, cet arrondi à deux chiffres ne sera pas satisfaisant.

Fonction réciproque

Étant donnée une valeur de y, 
comment trouver la valeur de x ?

La fonction réciproque de la fonction Logarithme, 
c'est la fonction Exponentielle.

Autrement dit : Exponentielle {Logarithme (z)] = z ; ce qu'on note : e ^{Log z} = z

Reprenons la définition de la fonction y :
y = (1200 / Log 2) Log x

On a donc :  y / (1200 / Log 2) = Log x  ; 
c'est-à-dire  y ( Log 2 / 1200 ) = Log x
égalité qui s'écrit aussi : Log x  = (Log 2 / 1200 ) y 
et d'où on tire, puisque e ^{Log x} = x  :

x = e   ^{( Log 2 / 1200) y}

Ainsi, nous avons désormais moyen de passer de x à y, (quelle que soit la valeur de f_o prise étant égale à l'unité), puis de repasser d'un valeur de y à une valeur de x. Et dans tous les cas de trouver la valeur de f, une fois choisie celle de f_o puisqu'on a posé x = f /f_o .

APPLICATION A LA MUSIQUE

In Élémens de musique théorique et pratique, Paris, 1752, op. cit.**, au chapitre consacré à l'accord du clavecin, après avoir parlé de la très légère diminution des quintes*, d'Alembert,  poursuit :

Tous les demi-tons étant égaux dans le tempérament que M. Rameau propose, il s'ensuit que les douze demi-tons ut, ut#, ré, ré#, mi, mi#, etc. formeront une suite géométrique continue, c'est-à-dire une suite dans laquelle ut sera à ut# dans le même rapport que ut# à ré, que ré à ré#, etc., & ainsi de suite.

Ces douze demi-tons sont formés par une suite de treize sons dont un ut grave et son octave ut aigu sont le premier et le dernier. 

Ainsi, pour trouver par le calcul la valeur de chaque son dans le tempérament dont il s'agit, la question se réduit à trouver entre les nombres 1 et 2 onze autres nombres qui fassent avec 1 et 2 une progression géométrique continue. Pour peu qu'on ait l'usage du calcul, on trouvera facilement chacun de ces nombres. 
En voici l'expression, que les Mathématiciens reconnaîtront facilement, et que les autres peuvent passer.

[* : celle-là même que Werckmeister avait proposé]
[** : page 45, note u]

D'où il vient, puisque a = racine douzième de 2  
(la 4ème colonne se déduit du fait de l'égalité des demi-tons).

Voici comment calculer les fréquences de l'échelle tempérée sur ordinateur personnel à l'aide d'un tableur (Excel, par exemple). 
La méthode qui est employée est celle qui consiste à calculer le do grave à partir du la, puis à calculer toutes les autres fréquences à partir de ce do.

Avec Excel, il n'y en a alors plus que pour un instant à calculer les fréquences pour différentes valeurs de diapason, par exemple 440, 435 et 415 Hz. 
Les voici :

La conversion en points donnée par la fonction y = (1200 / Log 2) Log x  
[ qu'on peut aussi retenir - c'est peut-être plus facile - sous sa forme y = 1200 (Log x /Log 2) ] 
va nous permettre de comparer facilement entre elles les valeurs de ce tableau.
Souvenons-nous en effet, que x, nous l'avons toujours posé comme étant un rapport de fréquences.

Proposons nous de comparer chaque valeur de la colonne de la série 435 à chaque valeur homologue de la série 440 (autrement dit, nous voulons comparer le do relatif au la 440 au do relatif au la 435, le sol relatif au la 440 au sol relatif au la 435, et de même pour toutes les valeurs du tableau). De plus, nous voulons comparer aussi le do relatif au la 415, au do relatif au la 440, et de même pour toutes les lignes du tableau.

Considérer la structure de nos tableaux, se souvenir de la façon dont nous les avons conçus, va nous dispenser de calculs et nous conduire rapidement au résultat. En effet :
- nous avons posé : a = racine douzième de 2 ;
- nous avons construit DO = LA / a⁹ ;
- puis nous avons calculé :
--- DO# = a. DO = LA / a⁸
--- RE = a. DO# = LA / a⁷
--- etc.

(Il s'agit évidemment de DO3 par rapport à LA3 ; 
de D2 par rapport à LA2 = LA3/2 ; etc.)

- De DO (440) = 440 / a⁹   et DO (435) = 435 / a⁹  
on tire que DO (435) / DO (440) = 435 / 440 ;

- De DO# (440) = 440 / a⁸   et DO (435) = 435 / a⁸  
on tire que DO# (435) / DO# (440) = 435 / 440 ;

- etc.

Autrement dit tous les nombres de la série 435 sont les nombres de la série 440 multipliés par un même facteur, lequel facteur est 435/440. De même, tous les nombres de la série 415 sont les nombres de la série 440 multipliés par un même facteur, lequel facteur est 415/400.

(1200/Log 2) Log (435/440) = -19,785 747 346 282 7 ~  -  20 points

(1200/Log 2) Log (415/440) = -101,270 624 748 447  ~  - 101 points

Choisir le diapason à 435 Hz (celui fixé en France par décret à l'époque romantique), c'est donc baisser tous les sons de l'échelle tempérée de 20 points vers le grave ; par rapport au diapason actuel qui fixe le la à 440 Hz et qui date de la fin du XIX° ou du début du XX° - congrès de Vienne et de Covent Garden - et qui par la suite a été normalisé par l'ISO en 1947 [date donnée sous réserve de confirmation]- Recommandation ISO 16).

Une gamme tempérée à l'actuel diapason dit baroque à 415 Hz, c'est, par rapport à une gamme tempérée au diapason de 440 Hz, une gamme translatée de 101 points vers le grave. 

Comme on sait par les travaux de Félix Savart qu'un écart de 1 point, notre oreille ne l'entend pas, cette gamme tempérée dite baroque, en pratique, notre oreille va la confondre avec la gamme tempérée baissée d'1 demi-ton vers le grave (le 1/2 ton étant de 100 points).

L'écart d'environ 0,3 Hz [ voir ci-après pour une examen plus précis] qu'on a sur chaque valeur de l'ambitus DO3/SI3 (entre l'échelle obtenu par baisse d'1/2 ton - 100 points - et la valeur calculée rigoureusement - baisse de 101 points) est donc négligeable, dans cette plage de valeurs de fréquences.

Il paraît que les la de Conservatoire sont plus élevés que le  la normalisé.
(1200/Log 2) Log (442/440) =    7,851 415 040 126 5   ~  +    8 points
(1200/Log 2) Log (444/440) =  15,667 383 390 535 5   ~  +  16 points
(1200/Log 2) Log (445/440) =  19,562 174 794 920 8   ~  +  20 points
Le la du Conservatoire peut donc être plus élevé d'un petit comma 
(voir l'alinéa ci-après ; voir aussi, plus loin, le paragraphe sur les diapasons).

Donnons les ordres de grandeur suivants, pour évaluer ces écarts :
1/2 ton = 100 points ; 1/4 ton = 50 points ; 1/8 ton = 25  points ; 1 comma = 20 à 24 points, selon sa nature.
Pouvoir discriminant de l'oreille = 4 points 
(Un écart de 3 points, personnes ne l'entend ; un écart de 4 points, une oreille fine peut tout juste le déceler).

En effet, en mémoire des travaux de Félix Savart, les acousticiens ont donné son nom à l'intervalle le plus petit que l'oreille humaine puisse déceler, et c'est à la 301ème & quelque partie de l'octave, c'est-à dire un tout petit peu plus petit que la 300ème de l'octave partie qui est 1200 / 300 = 4 points. 
(Rappel : je dis et j'écris "1 point" - mot aisément compréhensible en français - là où la littérature écrit (sans traduire) 1 cent, terme américain).

Revenons sur ce décalage de 101 points et examinons le de plus près :

Le décalage en hertz, il augmente avec la fréquence, alors que le décalage en points, il est constant
et reste autour de 1,270 625 points [les petits écarts autour de cette valeur viennent peut-être d'arrondis de calcul, bien que ceux-ci aient été faits avec Excel]. 

On peut faire un autre calcul : comparer 440 Hz et 440,5 Hz.
On trouve ceci :   (1200/Log 2)*(Log (440,5 / 440)) = 1,966 194 474 904 96.

On peut donc retenir ceci : autour de 440 Hz, 1/2 Hz, c'est 2 points.

La norme ISO 16 prescrit que le la3, fréquence internationale de référence, 
c'est, à 20°C : 440 +- 0,5 Hz

Ainsi, +-2 points, c'est la précision de la fréquence de référence.

Retenons bien ceci car ça nous servira par la suite.

On peut aussi calculer les fréquences directement à partir du la. C'est facile puisque l'échelle est régulière (un barreau tous les 100 points).

Si on compare ce tableau aux précédents (ch. 1, partie 2), on trouve qu'il donne exactement les mêmes résultats,
à condition d'arrondir à 6 ou 7 chiffres après la virgule les résultats des calculs donnés par l'un et l'autre tableaux.

ANNEXE - ÉCHELLE TEMPÉRÉE ET ÉCHELLE PYTHAGORICIENNE NON TEMPÉRÉE

-204				0				204		294		408		498				702		792		906		996				1200
*NI1				SA				RI4				GA4
										GA1				MA1				PA				DHA4
																				DHA1				NI1				SA*

TX/2009-12-26

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