***RaDio TEENTAAL***

Veit · Posté le: Sam Mar 04, 2006 8:02 pm Sujet du message: Ganesh - 4

groupement des shrutis par paquets
C'est le groupement des shrutis en 3 paquets annoncé par Parvati.
A la fin de l'exposé, on devrait pouvoir affiner ce groupement

1er paquet :
(numérateurs et dénominateurs ne sont que des puissances de 2 et de 3)

Sa : 1 ( 0 )

Re4 : 9/8 ( 204 )

Ga1 : 32/27 ( 294 )
Ga4 : 81/64 ( 408 )

Ma1 : 4/3 ( 498 )

Pa : 3/2 ( 702 )

Dha1 : 128 /81 ( 792 )
Dha4 : 27/16 ( 906 )

Ni1 : 16/9 ( 996 )

2ème paquet 2 :
(dans les fractions, il y a des multiples de 5)

Re2 : 16/15 ( 112 )
Re3 : 10/9 ( 182 )

Ga2 : 6/5 ( 316 )
Ga3 : 5/4 ( 385 )

Ma2 : 27/20 ( 520 )
Ma3 : 45/32 ( 590 )
Ma4 : 64/45 ( 610 )

Dha2 : 8/5 ( 814 )
Dha3 : 5/3 ( 884 )

Ni2 : 9/5 ( 1018 )
Ni3 : 15/8 ( 1088 )

3ème paquet :
autres fractions

Re1 : 32/31 ( 55 )

Ni4 : 31/16 ( 1145 )

Table 3-1-4 Srutis gathered by nature
(cette table 3-1-5., elle de moi aussi)

Veit · Posté le: Sam Mar 04, 2006 9:24 pm Sujet du message: Dhaulaghiri

le Dhaulaghiri

& maintenant, en route ! Razz

Veit · Posté le: Dim Mar 05, 2006 11:55 pm Sujet du message: Fréquence

1) physique : définition de ce qu'est une fréquence

Veuillez considérer comme bat le balancier de la pendule.
On lui voit faire :
- un mouvement à droite, tic ;
- un mouvement à gauche, tac ;
- et il recommence : tic, tac ; tic, tac ; tic, tac ; .... et ainsi de suite.

Le balancier fait un aller retour, puis un autre, puis encore un autre, etc.

Et chaque aller-retour est semblable au précédent.
On dit que le mouvement est périodique.
On convient de ceci :

- DEFINITION 1 :
on appelle période le temps que le balancier met pour faire un aller-retour.

- DEFINITION 2 :
on appelle fréquence le nombre de périodes par unité de temps
(autrement dit, c'est le nombre d'aller-retours par unité de temps).

- DEFINITION 3 :
L'unité de fréquence, c'est le herz. Le symbole de cette unité, c'est Hz.
1 Hz = 1 aller-retour par seconde.

Le son, c'est une vibration complexe de l'air, qui se propage dans l'air à la vitesse de 300 m/s (*). Si notre oreille et notre cerveau, ensemble, peuvent analyser ce son comme une somme d'un grand nombre de vibrations simples ayant des fréquences multiples d'une fréquence particulière, nous classons ce son dans la catégorie des sons musicaux, et appelons cette fréquence particulière : fréquence fondamentale. Ou, plus simplement : fondamentale.

240 Hz ; 261 Hz ; 435 Hz ; 440 Hz... sont de telles valeurs que peuvent prendre des fréquences fondamentales.

C'est aux fréquences fondamentales des sons musicaux que nous allons principalement nous intéresser dans l'exposé qui suit.

Remarquons au passage qu'un rapport de fréquences, c'est un nombre sans dimension.

Par exemple :
660 Hz / 440 Hz = 660 / 440 = 66 / 44 = 33 / 22 = 3*11 / 2*11 = 3/2 = 1,5

660 Hz et 440 Hz, ce sont des fréquences, mais le rapport de leurs valeurs (1,5) est un nombre sans dimension.

Hauteur des notes et fréquences. On voudra bien admettre ceci :
- plus une note est aiguë, plus sa fréquence est élevée ;
- plus la fréquence d'une note est basse et plus elle est grave.

(*) N.B. Un son produit dans l'air peut ausi se propager dans l'eau.

Veit · Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:22 pm; édité 4 fois

2) mathématiques

2.1) mathématiques : notion de fonction

2.1.1) ensemble
définition :
un ensemble est une collection d'éléments

exemples :
- une collection de timbres,
- tous les teentaaliens et teentaaliennes
- les chiffres de 1 à 12,
- tous les nombres entiers
(l'ensemble des nombres entiers, on le désigne par la lettre N)
- tous les nombres rationnels
(le zéro, plus tous les entiers, plus toutes les fractions et les nombres décimaux qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule ; plus le négatif de tous ces nombres positifs - on désigne par la lettre Q l'ensemble des rationnels)
- tous les nombres réels (l'ensemble R des réels, c'est l'ensemble Q, plus tous les nombres qui comportent un nombre illimité de chiffres après la virgule).

2.1.2) correspondance
notion :
- à tout élément d'un ensemble de départ, ou à certains d'entre eux seulement, on peut faire correspondre un ou plusieurs éléments d'un ensemble d'arrivée ;
- des éléments distincts de l'ensemble d'arrivée peuvent avoir pour correspondants deux ou plusieurs éléments de l'ensemble de départ ; ou n'en pas avoir.

2.1.3) fonction
définition :
une fonction est une correspondance entre deux ensembles, telle qu'à tout élément d'un ensemble de départ corresponde un élément de l'ensemble d'arrivée, mais un seul.

Cet ensemble de départ est appelé ensemble de définition de la fonction.
On remarquera que la définition n'exclut pas qu'un élément de l'ensemble d'arrivée puisse être le correspondant de deux éléments distincts de l'ensemble de départ.

2.2) fonction logarithme
propriété caractéristique :
la fonction logarithme est une fonction de R dans R, notée Log, et qui est telle que :
---> Log (a . b) = Log a + Log b
---> Log (a / b) = Log a - Log b

2.3) qui était John Neper ?

John Neper était un Ecossais. Il découvrit la fonction logarithme en 1614.
On l'appelle aussi, parfois Napier (au lieu de Neper)

Le logarithme noté avec un grand L est appelé Logarithme népérien.
Le nombre de Neper (noté e), c'est environ 2,617, c'est le nombre tel que Log e = 1.
Excel note le logarithme népérien LN au lieu de le noter Log.

Le logarithme décimal (ou logarithme à base 10) est noté avec une lettre l minuscule.
Par définition : log x = Log x / Log 10.
Excel note le logarithme décimal LOG au lieu de le noter log.

2.4) notion de fonction inverse
2.4.1) notion de correspondance inverse
Soit une correspondance entre les éléments d'un ensemble A et ceux d'un ensemble B.
Imaginons des traits qui relient à ceux de B les éléments de A qui ont un ou plusieurs correspondants en B.
Traçons sur ces traits des pointes de flèches de A vers B. Inversons alors toutes les flèches. On a alors dessiné la correspondance inverse
2.4.2) notion de fonction inverse
Si la correspondance inverse d'une fonction est une fonction, on parle de fonction inverse.

2.5) fonction exponentielle
définition :
la fonction exponentielle est la fonction inverse de la fonction logarithme
On a : e puissance (Log x) = x
[on expliquera plus tard la notion de puissance]
Excel note EXP la fonction exponentielle

Veit · Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:24 pm; édité 7 fois

3) physique et mathématiques appliquées à la musique

3.1) physique / acoustique musicale : octave

définition :
- l’octave est un intervalle défini ainsi :
la différence de hauteur entre deux notes est d’une octave
quand le rapport de la fréquence de ces deux notes est égal à 2.

justification
L'échelle diatonique auquel nous sommes habitués comporte 7 sons, par exemple do, ré, mi, fa, sol, la , si (ou sa, ri, ga, ma, pa, dha, ni).
Dans ces exemples, le 8ème son, celui qui fermerait la boucle et permettrait d'en recommencer une autre serait le do ou le sa de fréquence double à celle du point de départ de l’échelle.
C’est ce nombre de sons, huit, qui donne son nom à l’octave

remarque
- l'octave ne se définit pas seulement en montant.
La définition est valable aussi en descendant ;
- on peut choisir n'importe quel point de départ ;
ce n'est pas forcément un do, ni un sa ;
- on peut parfaitement définir une octave de la à la, de fa à fa, de ri à ri, de pa à pa.

3.2) mathématiques : formule d'Ellis.

Ce que nous appelons la formule d’Ellis, c’est la formule qui définit une fonction de R dans R qui va permettre une représentation graphique commode d’un rapport de fréquences.
C’est la fonction qui à tout nombre x fait correspondre le nombre y tel que :

y = (1200 / Log 2) * Log x

Points particuliers de cette fonction :
- si x = 2, y = 1200 ;
- si x = 1, y = 0.

Cette formule, permet de subdiviser en 1200 parties l’image d’une octave
(par abus de langage, on confondra le rapport de fréquences et sa représentation ;
ainsi on dira que cette formule permet de subdiviser l’octave en 1200 parties)

Chacune de ces parties est appelé cent dans la littérature.

Mais comme cent n’est pas commode à dire en français, on dira, dans un exposé, un point.
Nous dirons donc que nous subdivisons l’octave en 1200 points, là où les autres disent 1200 cents.
Attention ! de la façon dont nous l’avons défini, un point est un intervalle et non pas la borne d’un intervalle,
mais en fait, je crois que ce ne sera pas très gênant de dire, par exemple, le point situé à 702 points du zéro ? Vous avez du mal à vous y retrouver dans cette phrase, vous ? Si oui, comment diriez-vous ?

Bref, retenons :
1 octave = 1200 points

3.3) histoire : qui était Ellis ?
Ellis est un Anglais qui, en 1884, a popularisé la formule qui l’a rendu célèbre, en la proposant dans une annexe
à une traduction anglaise du livre Tonenpfindungen de l'Allemand Helmholtz . Ce n’est cependant pas Ellis qui avait inventé cette formule.

n.b. Le traité Tonenpfinfungen d'Helmholtz
est disponible en traduction française dans une librairie scientifique de la rue St-Jacques, à Paris, 5ème arrondissement, au coin de la rue Gay-Lussac (ou presque).
RER : Luxembourg.

Veit · *Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:24 pm; édité 1 fois*

3.4) subdivision régulière de l'octave ; représentation graphique

1200 points…. Hmmm…
Si nous prenions 1 point = 1 mm,
nous représenterions 1 octave par une règle de 1200 mm, c’est-à-dire 1,20 m.
Pas très pratique pour faire des croquis.

Une échelle commode sera : 1200 points = 30 cm

La feuille de papier ordinaire étant au format A4 (= 21 x 29,7 cm), il faudra travailler dans la diagonale de la feuille dans les cas où il est indispensable de tracer l’octave en entier ; mais la feuille suffira si on n’a qu’un septain à tracer. On peut aussi coller une bande de papier à l’extrémité de la feuille A4 ou bien utiliser une feuille double (au format A3 =42 x 29,7).

A cette échelle, 1200 points = 300 mm ; c'est-à-dire 1 mm = 4 points
(on verra en 3.7 ci-après à quoi ça correspond)

D'autre échelles commodes (selon ce qu'on a à faire) ;
- 1 octave = 24 cm ;
- 1 octave = 12 cm.

3.5) notion de tons, de demi-tons, de commas ;

Par définition,

1 ton = 200 points (+- 4 points)

1 / 2 ton = 100 points (+- 4 points)

1 comma = 24 points (+- 4 points)

3.6) qui était Savart ?

Félix Savart était médecin militaire et chirurgien, sous la Restauration.
Il s’intéressa à l’acoustique, mais pas seulement.

3.7) le savart

Le savart est l’intervalle qui représente le pouvoir discriminant de l’oreille humaine.
Personne ne sait distinguer 2 notes distantes de 1 savart. Mais dès que l’intervalle est supérieur à 1 savart, on commence à pouvoir les distinguer. Le savart étant la 301,.. –ème partie de l’octave, la 300-ème partie de l’octave est un intervalle à peine plus grand.

Aussi, en pratique, nos 4 points (1 millimètre sur notre règle de 30 cm, quand on prend 30 cm = 1 octave = 1200 points), c’est le plus petit intervalle décelable par notre oreille (et encore, il faut qu’elle soit bien fine !…).

Un corollaire, c’est qu’un intervalle de 2 points, ça ne s’entend pas.
Personne, donc, ne sait entendre la différence entre 498 points et 500 points ;
entre 702 points et 700 points non plus.

Ceci étant dit pour l’oreille, car d’une discussion que j’ai eu l’été dernier sur le pont des Arts avec le 2ème violon de l’orchestre des régions européennes,
il ressort que la discussion reste ouverte en ce qui concerne l’influence de ces écarts de vibrations sur nous-mêmes et que nous capterions par un 6ème sens ... Question

Veit · Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:25 pm; édité 1 fois

4) mathématiques :
4.1) notion de puissance
4.2) notion de racine
4.3) exposants fractionnaires

4.1) notion de puissance

Carré

Soit par exemple le nombre 7.
Si on voulait le multiplier par lui-même, pour ce faire, on pourrait poser la multiplication : 7 * 7
Ce faisant, on aurait écrit 2 fois le nombre 7 et un signe de la multiplication au milieu
On convient de noter cela autrement : le chiffre 7 avec un 2 petit placé en haut et à droite du 7 ;
On convient d’énoncer cela "7 puissance 2" ; et de dire que le petit 2, c’est un exposant.
Autrement dit, on vient d'adopter la convention d'écriture : 7 puissance 2 = 7 * 7

La surface d'un carré dont la longueur de chacun des côtés est 7 unités de longueur valant "7 fois 7" unités de surface,
"7 puissance 2" est le nombre qui exprime la surface d'un carré de côté 7, c'est pourquoi on dit "7 puissance 2" = "7 au carré".

Plus brièvement, on dit : la puissance 2, c'est le carré.

Ce qui s'entend de 7 ci-dessus s'entend de tout nombre.
Ainsi, pour tout nombre a, « a puissance 2 » = a * a .

Cube

Un cube dont l'arête vaut 7 unités de longueurs a pour volume (7 * 7) * 7.
C'est aussi : 7 * 7 * 7, c'est-à-dire 3 fois le nombre 7. On convient de noter cela : "7 puissance 3"

Autrement dit, on vient d'adopter la convention d'écriture : « 7 puissance 3 » = 7 * 7 * 7

De même qu’on disait « la puissance 2, c’est le carré », on va dire « la puissance 3, c'est le cube ».

Ce qui s'entend de 7 ci-dessus s'entend de tout nombre.
Ainsi, pour tout nombre a, « a puissance 3 » = a * a * a .

Puissance n

On généralise ce qui précède en posant : " a puissance n " = a * a * ....... * a (n fois)
(autrement dit la multiplication contient n termes et c'est n fois le nombre a)
----- n étant un nombre entier -----

Logarithme d’un nombre élevé à la puissance n

Etant donné que Log (a * b) = Log a + Log b, on aura : Log (a puissance n) = n * Log a
car Log (a puissance n) = Log (a* a * a * …. *a) [avec n fois a dans la parenthèse]
= Log a + Log a + …. + Log a [avec n fois Log a dans cette somme] = n * Log a

4.2) notion de racine

Racine carrée

Considérons le nombre 49. On sait que 49 = 7 * 7.= 7 puissance 2
Ce nombre, 7, on dit de lui qu’il est la racine carrée du nombre 49.

Racine cubique

Considérons le nombre 125. On sait que 125 = 5 * 5.* 5 = 5 puissance 3
Ce nombre, 5, on dit de lui qu’il est la racine cubique du nombre 125.

Racine n-ième

Considérons l’égalité y = x puissance.n .
On dira de x, par définition, qu’il est la racine n-ième de y

4.3) exposants fractionnaires

Puissance quelconque d’un nombre réel

Jusqu’à présent, quand on écrivait « a puissance n », on sous-entendait « n entier » et aussi « a entier ».
On admettra qu’on peut généraliser.
Le nombre « alpha puissance êta », par définition, ce sera le nombre tel que Log (alpha puissance êta) = êta * Log alpha
[avec alpha et êta réels]

Puissance fractionnaire

En application de ce qui précède : Log y = Log (x puissance.n ) = n * Log x =

D’où : Log x = (1/n) * Log (y) = Log [ y puissance (1/n)]

Et donc : x = y puissance (1/n)

Autrement dit, la racine n-ième d’un nombre, c’est ce nombre élevé à la puissance (1/n) ;
ces deux notations sont équivalentes.

Veit · Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:25 pm; édité 1 fois

Chapitre 9 - Application des parties 1 à 4.

Idea

Veuillez considérer la suite des nombres 2 puissance (i/12)
--- i étant un entier que vous ferez varier de 1 en 1, de 0 à 12 ---

Cherchez l'image de ces nombres sur votre règle graduée de 0 à 1200 points.
Rolling Eyes

Comment sont-ils disposés ?

toonssia · Teentaalien VIP Inscrit le: 30 Aoû 2005 Messages: 983

j'espère me suis pas trompée !

f(0) = 1
f(1) = 1.0595
f(2)= 1.1225
f(3) = 1.1892
f(4)= 1.2599
f(5) = 1.3348
.
.
f(12)= 2
suite géométrique dont la raison est 2^(1/12)

Par contre pour les placer sur la règle graduée de 0 à 1200
je n'en sais rien

Veit · Dernière édition par Veit le Mer Nov 01, 2006 11:26 pm; édité 1 fois

Pas mal !... Very Happy

Pour placer ces nombres sur la règle, pose : x = 2 puissance (i/12)
et calcule : (1200 / Log 2) * Log x

Alors, ça donne quoi ?

Et si tu prends pour longueur de la règle : 30 cm ?

Une indication (je ne sais plus si je l'ai déjà donnée) :
tout nombre élevé à la puissance zéro, c'est 1

[autrement dit : 2 puissance (0 / 12), c'est 2 puissance 0, c'est-à-dire : 1
et comme Log 1 = 0, cela nous donne le zéro de l'échelle] ;

Une autre indication (je ne sais plus si je l'ai déjà donnée) :
tout nombre élevé à la puissance 1, c'est ce nombre lui-même ;

autre indication, l'application pratique, c'est que ces nombres correspondent à des rapport des fréquences ; autrement dit, si l'on se donne ue fréquence de référence f0, on s'intéresse à :
--> f0 / f0 = 2 puissance (0/12) = 1,
--> f1 / f0 = 2 puissance (1/12),
--> f2 / f0 = 2 puissance (2/12),
--> .........
--> fi / f0 = 2 puissance (i/12),
--> .........
--> f12 / f0 = 2 puissance (12/12) = 2 puissance 1 = 2

Rose des vents · Posté le: Sam Mar 25, 2006 10:26 pm Sujet du message:

Excuse moi Veit, je ne te connais pas du tout mais sans vouloir te vexer où est l'intérêt de faire du copier-coller d'un site sur les théories mathématiques si nous n'avons pas une réflexion personnelle de ta part. Je m'explique : tu as peut être voulu aider une personne en faisant ça mais il aurait mieux fallu mettre le lien du site sur lequel tu as pomper ça, ça aurait été plus court. Je ne veux pas t'offenser mais je trouve que ces coms font plus office de spam qu'autre chose.
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Veit · Posté le: Dim Mar 26, 2006 12:20 pm Sujet du message: parenthèse

Parenthèse - De l'utilité du présent chapitre.
Bonjour, Rose des vents,

Ce cours n'est pas pompé de quelque site internet que ce soit. J'en suis l'auteur.

Je l' écris au gré de ma disponibilité et le publie avec les encouragements de l'équipe d'animation du forum et de ceux de mes lecteurs qui y trouvent un intérêt. Je les remercie de cette possibilité qui m'est donnée de m'exprimer sur un sujet que j'ai longtemps travaillé.

Le plan du présent chapitre 8 est indiqué plus haut (cf. plus haut les interventions prêtées à Kali et à Durga).

L'intérêt de l'exposé réside en ceci qu'il met à plat des notions qui permettent d'y voir clair entre le b,a, ba des musiques occidentales (de l'antiquité, du moyen-âge et de la renaissance, des époques classique et baroque, des époques romantique et postérieure) et le b,a ba de la musique traditionnelle indienne (aussi bien pour celle du Nord que pour celle du Sud), et même le b, a, ba des musiques traditionnelles d'Extrême-Orient, en ce qui concerne les hauteurs de son, et sans rentrer dans des considérations où, comme on le lit parfois, "l'artistique" vient tout d'un coup couper court à une exposé qui démarrait comme un exposé de vulgarisation scientifique.

Les principes qui sont énoncés sont des principes élémentaires de physique (d'acoustique) et de physiologie. Le langage mathématique est là pour faciliter l'exposé des concepts correspondants. Jusqu'ici, il nous à servi à nous doter d'un outil qui nous permet d'établir une correspondance rigoureuse entre des hauteurs relatives de son et une représentation graphique, dont nous allons nous servir dans dans les parties ultérieures de l'exposé.

Cette partie mathématique fonde aussi la correspondance inverse, celle qui permet, étant donné un point qu'on se donne sur la règle, de trouver la hauteur du son qu'il représente.

A quoi ça sert ? C'est la base même de la conception des instruments de musique. Les frettes d'une veena et d'une guitare ne sont pas disposées au hasard. Les paramètres des cordes sympathiques d'un sitar ne sont pas, par rapport aux cordes de jeu, choisis au hasard.

Des effets de jeu à la guitare (bending), à la flûte traversière ou à l'harmonica, par exemple, existent, qui font varier une fréquence d'un intervalle inférieur au 1/2 ton. L'effet bending, il est évident que tu pourras le réaliser aussi sur un (ou une ?) tampura. L'exposé, il nous donne un support pour exprimer cette chose et du vocabulare pour en parler (je viens de parler de 1/2 ton ; j'ai défini l'autre jour le 1/4 de ton et le comma)**.

Le présent chapitre en cours de rédaction montrera aussi les fondements de l'harmonie et de la composition musicale (je pense aux principes élémentaires du contrepoint).

Contrairement aux apparences, nous sommes donc en plein dans notre sujet : la musique.

Ceci dit, je reprends mon propos là où je l'avais laissé hier. Salut !

** P.S. Excuses : j'en ai parlé en février. Ca fait partie des données qui ont disparu. Il en sera parlé plus loin.

Rose des vents · Posté le: Dim Mar 26, 2006 12:57 pm Sujet du message:

euh j'ai pas trop compris pourquoi là ça a dévié sur Durga... Tu m'excuseras si j'ai pas trop le temps de lire ton pavé, mais je croyais être sur un site indien et à la place je me retrouve sur un forum un peu hors sujet ou pour matheux. Autant pour moi... Confused

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toonssia · Teentaalien VIP Inscrit le: 30 Aoû 2005 Messages: 983

Rose des vents, au lieu de faire tes remarques non constructives et d'accuser Veit de plagiat (Alors que tu ne savais meme pas qu'il etait mathématicien et qu'il nous honorait de par sa présence ici en nous réservant un peu de son temps précieux)

tu n'as qu'à zapper ce qui ne te plait pas c'est tout .....comme le feront d'autres qui liront tes propos par exemple
(Pas la peine de nous signaler que tu n'aimes pas la discussion....on a bien compris!)

Ce forum parle de tout ce qui touche à la musique, l'Inde, le Pakistan etc...
Donc je remercie énormément Veit qui nous agrémente le forum en aspect intellectuel.
Savais-tu qu'il y a eu des centaines de mémoires sur la musique et les mathématiques? Ce sont deux sciences intimement liées.

Sorry pour ces hors-sujets qui ont trop duré... et retournons à nos moutons.
~PARENTHÈSES FERMÉES~
On attend la suite, Veit Smile

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Rose des vents · Posté le: Dim Mar 26, 2006 1:21 pm Sujet du message:

mdrrrrrrrrrrr nan mais là faut arrêter de tirer sur le mouton blessé (puisque vous aimez bien les intellectuels ici apparemment), c'était une remarque (non constructive peut être) mais faut pas se sentir agressée. Wé t'inquiète j'ai zappé ses coms parce qu'ils n'ont aucun intérêt pour moi. T'inquiète j'ai vu sur ce forum qu'il y avait des thème beaucoup plus intéressants et ne t'en fait pas j'y ai fait un tour. J'ai pu lire des commentaires qui étaient vraiment amusants et agréables à lire. Je n'ai pas agressé ou martyrisé Veit. Alors mes excuses au Einstein de Radio Teentaal. Wink

Alors, fini le hors sujet, je vais sillonner les autres thèmes de ce forum Embarassed

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