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résumé |
1) notion de fréquence
En physique,
une fréquence = un nombre de fois par unité de temps,
notamment un nombre d'allers-retours par seconde
( 1 Hz = 1 aller-retour par seconde ).
2) la fonction Logarithme
En mathématiques,
une fonction = toute correspondance entre deux
ensembles,
telle qu'à un élément de l'ensemble de départ corresponde un
élément, et un seul, de l'ensemble d'arrivée.
Fonction inverse = se dit si la correspondance inverse
est aussi une fonction.
(On regarde ce que ça ferait si on inversait les rôles
"arrivée" et "départ" des deux ensembles).
John Neper = savant écossais du XVII° siècle
Logarithme = fonction découverte par John Neper.
Voici sa propriété caractéristique :
- à une multiplication dans l'ensemble de départ
correspond une addition dans l'ensemble d'arrivée
Log (a.b) = Log a + Log b
- à une division dans l'ensemble de départ
correspond une soustraction dans l'ensemble d'arrivée
Log (b/a) = Log b - Log a
Exponentielle = fonction inverse de la fonction Log.
Nombre e = c'est le nombre
réel tel que Log e = 1.
3) notion de hauteur, en musique
Le son, c'est une vibration complexe de l'air, qui se propage dans l'air
à la vitesse de 300 m/s. Cette vibration se propage aussi dans l'eau et
dans les solides. Si notre oreille et notre cerveau, ensemble, peuvent
analyser cette vibration comme une somme d'un grand nombre de vibrations
simples ayant des fréquences multiples d'une fréquence particulière,
nous classons ce son dans la catégorie des sons musicaux, et appelons
cette fréquence particulière : fréquence fondamentale.
Hauteur = grandeur psycho-sensorielle
associée à la grandeur physique "fréquence fondamentale"
Octave = intervalle de hauteur correspondant à un rapport de
fréquences égal à 2
Ellis = savant anglais du XIX° siècle.
Formule d'Ellis : y = (1200 / Log 2) * Log x
Cette formule n'a pas été inventée par Ellis, mais c'est lui qui l'a
rendue célèbre en la publiant en 1885 - ou 1884 -
dans une annexe à sa traduction en anglais du traité Tonenpfindungen
écrit en allemand par Helmoltz, son contemporain.
L'ensemble constitué par notre oreille et notre cerveau réalise une
conversion de ce type entre la fréquence et la hauteur.
Pour la formule inverse : voir le texte.
Par la formule d'Ellis, on subdivise l'octave en 1200
parties égales, dites cents.
Le cent , je l'appelle "point", par analogie avec le
point Didot, qui est une unité de mesure en typographie.
Savart = médecin français (fin XVIII°, début
XIX°).
1 savart = à peu près, la 301ème partie de l'octave.
C'est donc un peu plus petit que la 300ème partie de l'octave.
C'est le pouvoir discriminant de l'oreille humaine.
Donc un écart de 4 points (4 cents), une oreille humaine
standard le distingue.
Un écart de 3 points, une oreille humaine ne le perçoit pas.
D'un intervalle de l'ordre de 200 points, on dit que c'est un intervalle
de 1 ton.
D'un intervalle de l'ordre de 100 points, on dit que c'est un intervalle
de 1/2 ton.
D'un intervalle de 20 à 24 points, on dit que c'est un intervalle de 1
comma.
4) mathématiques : puissances
- On notera a^2 = a*a. On dira que c'est a au carré.
- On notera a^3 = a*a*a. On dira que c'est a au cube.
- On notera a^n = a*a*...a (a étant mentionné n fois dans le membre de
droite de l'égalité). On dira que c'est a puissance n.
-
si A = a^2, on dit de a qu'il est la racine carrée de A
- si B = a^3, on dit de a qu'il est la racine cubique de B
- si C = a^n, on dit de a qu'il est la racine n-ième de C -
Dans les formules qui précèdent, n est un nombre entier.
Mais en passant par les log, on peut autoriser que n soit tout nombre
réel, en posant a^n = le nombre tel que Log (a^n) = n Log a .
En particulier, n peut être une fraction.
5) de l'échelle musicale
tempérée
L'échelle musicale tempérée est constituée de 12 demi-tons égaux,
de 100 points chacun.
La gamme majeure ascendante est la succession d'intervalles suivante : 1
ton, 1 ton, 1/2 ton, 1 ton, 1 ton, 1 ton, 1/2 ton.
Exemple : -(do)- 1 ton -(ré)- 1 ton -(mi)- 1/2
ton -(fa)- 1 ton -(sol)- 1 ton -(la)- 1 ton -(si)- 1/2 ton -(do)-
Exemple : -(sa)- 1 ton -(ri)- 1 ton -(ga)- 1/2 ton
-(ma)- 1 ton -(pa)- 1 ton -(dha)- 1 ton -(ni)- 1/2 ton -(sa)- La
somme des intervalles fait bien l'octave puisque 200 + 200 + 100 + 200 +
200 + 200 + 100 = 1200 points. L'échelle
ci-dessus nommée est dite échelle diatonique, car lorsqu'on passe
d'une note à la suivante, on rencontre des notes ayant deux noms
différents. Diéser une note, c'est l'élever
d'1/2 ton. Donc mi# = fa.
(Mi# se lit "mi dièse").
Bémoliser une note, c'est l'abaisser d'1/2 ton. Donc Dob = si.
(Dob se lit "do bémol"). L'échelle
complète est dite échelle chromatique, comme si les notes
intermédiaires permettaient de donner de la couleur aux musiques.
On appelle tonique le point de départ de l'échelle ascendante.
A noter que l'échelle des anciens Byzantins était descendante
(l'échelle de base de la musique liturgique orthodoxe grecque est donc
probablement une échelle descendante,
à la différence de celle du chant grégorien qui est une échelle
ascendante). Sur le nom des intervalles
(seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave,
neuvième...) : voir le texte.
La dominante (à 500 points au-dessus de la tonique) est une note pivot
(se justifie par l'étude de l'échelle pythagoricienne).
6) éléments de l'histoire de la musique
Document : la note (u) du manuel Elémens de
musique théorique et pratique de
1752
[ http://www.chmtl.indiana.edu/tfm/18th/ALEMEL_TEXT.html
] :
Tous les demi-tons étant égaux dans le tempérament
que monsieur Rameau propose, il s'ensuit que les douze demi-tons ut, ut#,
ré, ré#, mi, mi# , etc. formeront une progression géométrique
continue, c'est-à-dire une suite dans laquelle ut sera à ut# dans le même
rapport que ut # à ré, que ré à ré#, etc. et ainsi de suite.
Ces douze demi-tons sont formés par une suite de treize sons dont UT et
son octave ut sont le premier et le dernier. Ainsi pour trouver par le
calcul la valeur de chaque son dans le tempérament dont il s'agit, la
question se réduit à trouver entre les nombres 1 et 2 onze autres
nombres qui fassent avec 1 et 2, une progression géométrique continue.
Voir les autres notes :
elles montrent d'Alembert discuter des avantages et des inconvénients
de l'échelle de Pythagore (qu'il appelle "l'échelle des
Grecs"), de l'échelle harmonique (que nous connaissons sous le nom
d'échelle d'Aristoxène-Zarlin) et de l'échelle tempérée.
Théoriciens de la musique au fil de l'Histoire : voir
le texte.
7) de l'harmonium
L'harmonium est utilisé par les Indiens de l'Inde
depuis le XIX°. Il y a donc compatibilité entre l'échelle musicale
tempérée et la musique indienne traditionnelle.
8) en musique indienne
à :
-(do)- 1 ton -(ré)- 1 ton -(mi)- 1/2 ton -(fa)- 1 ton -(sol)- 1 ton
-(la)- 1 ton -(si)- 1/2 ton -(do)-
correspond
-(sa)- 1 ton -(ri)- 1 ton -(ga)- 1/2 ton -(ma)- 1
ton -(pa)- 1 ton -(dha)- 1 ton -(ni)- 1/2 ton -(sa)-
En musique indienne, le dièse, c'est le tivra.
==> ma tivra = fa#
En musique indienne, le bémol, c'est le komal.
==> ga komal = mib. Swara, ça
veut dire : une note.
Saptak, ça veut dire : un septain
(c'est l'ensemble des 7 notes de l'échelle diatonique : sa, ri,
ga, ma, pa, dha, ni).
Ashtak = les 7 notes d'un saptak + le sa de
l'échelle qui est juste au-dessus = une octave.
9) relativité du sa Le
sa est une référence conventionnelle. Sa hauteur est
convenue entre les musiciens avant l'exécution d'un morceau.
10) relativité du diapason Le
la est une référence conventionnelle. Sa hauteur a varié
dans le temps et selon les lieux.
La valeur normalisée (norme ISO 16) est 440 Hz. C'est le la3.
C'est la hauteur du son que l'on entend quand on décroche un
téléphone fixe.
11) des
univers parallèles
Convenir d'un la de 435 Hz (celui en usage
en France à partir de 1859), c'est entrer dans un
univers de sons parallèle à celui du la de 440 Hz.
Les deux univers n'ont aucun point en commun. Et même si l'on
considère les demi-tons, ils n'ont aucun point
Le diapason a toujours eu tendance à monter. Pour jouer Mozart à la
bonne hauteur, il faudrait, paraît-il, jouer 1 ton ou 1 ton 1/ plus bas
qu'écrit. Dans la suite de l'exposé, on
rencontrera d'autres univers parallèles et décalés.
12) spectre audio
Le spectre audible va de 30 Hz à 20 000
Hz.
La note la plus grave est jouée par le grand orgue.
La note la plus haute par le piccolo.
La double octave de celle-ci est à la limite du spectre audible..
Étendue de quelques instruments de musique : voir le texte.
13) échelle pythagoricienne
Les nombres 1, 2 et 3 forment la base d'une échelle
musicale antique, attribuée à Pythagore et que nous connaissons grâce
au proconsul Boèce.
Nous appellerons cette
échelle l'échelle pythagoricienne. Pythagore raisonnait sur des
longueurs de corde vibrante. Nous, nous raisonnerons sur des fréquences
et sur des hauteurs de son car nous savons que la fréquence de
vibration d'une corde tendue est inversement proportionnelle à la
longueur de la partie vibrante de ladite corde vibrante.
Dans tout ce qui suit, nous nous intéressons à des fréquences
relatives.
Une fréquence relative, c'est l'expression d'une fréquence par rapport
à une autre choisie comme référence.
Exemple : 2. C'est l'octave. L'octave d'une vibration de fréquence fo
vaut 2 fo. La fréquence relative de celle-ci c'est 2 fo
/ fo = 2.
En fait, 2 fo , c'est la fréquence fondamentale de la note
qui est à l'octave au-dessus de la fréquence fondamentale de la note
choisie comme référence.
La fréquence relative de la note qui est à l'octave en dessous de la
note de référence, c'est 1/2. La fréquence
relative de la note de référence, c'est fo / fo =
1.
C'est le zéro de l'échelle, car à x = 1 la formule d'Ellis fait
correspondre y = 0. À x = 2, la formule d'Ellis
fait correspondre y = 1200.
À x = 1/2, la formule d'Ellis fait correspondre y = - 1200.
À x = 3/2, la formule d'Ellis fait correspondre y = 702.
En vertu de la propriété caractéristique de la fonction logarithme
énoncée ci-dessus en 2),
à x = 3, il correspond y = 702 + 1200 = 1902.
On peut ainsi démontrer facilement qu'à x = 4/3, il correspond y =
498. Noms de ces intervalles. Définitions
provisoires :
--> 3/2 (= 702 points) = quinte pythagoricienne
--> 4/3 (= 498 points) = quarte pythagoricienne En
effet, dans
le système tempéré, 700 points, c'est une quinte et 500 points, c'est
une quarte. Car :
- de do à sol (700 points), en montant, on compte : do,
ré, mi, fa, sol ; cinq notes ;
- de fa à do (700 points), en montant, en compte : fa,
sol, la, si, do ; cinq notes ;
- de do à fa (500 points), en montant, on compte : do,
ré, mi, fa quatre notes ;
- de sol à do (500 points), en montant, en compte : sol,
la, si, do ; quatre notes ;
La quarte tempérée diffère de 2 points de la quarte
pythagoricienne. La quinte tempérée diffère de 2 points de la
quinte pythagoricienne.
Savart a montré que cette différence n'est pas sensible à l'oreille
et déjà d'Alembert avait affirmé que cet écart était infime.
(cf http://www.chmtl.indiana.edu/tfm/18th/ALEMEL_TEXT.html
Elémens de
musique théorique et pratique, note u, quatrième alinéa. C'est
celui placé sur la page 46).
Les quintes et quartes ci-dessus définies, parce qu'elles correspondent
à des fractions simples, ont reçu le qualificatif de juste.
Noms de ces intervalles. Définitions :
--> 3/2 (= 702 points) = quinte juste
--> 4/3 (= 498 points) = quarte juste
D'Alembert reconnaît que les quintes et quartes du "tempérament
que M. Rameau propose" sont fausses (puisque pas justes) mais
montre que c'est de très peu.
Il montre que cet écart de justesse, négligeable sur ces intervalles,
permet de simplifier l'accordage du clavecin. Le
tempérament égal va simplifier, dès le XVIII°, la construction des
orgues et permettre l'avènement, fin XVIII° et XIX° siècles, des
orchestres symphoniques.
Et tout cela vient de la découverte des logarithmes par Neper au début
du XVII° et est l'oeuvre des savants, artisans et musiciens qui l'ont
appliquée.
Du fa au sol, il y a 702-498 = 204 points. Fraction
correspondante : (3/2)/(4/3) = 9/8.
Puisque de fa à sol, il y a deux notes, nous dirons que
c'est un intervalle de seconde.
Ultérieurement, nous aurons besoin d'attribuer à cet intervalle un
qualificatif approprié, pour le distinguer d'autres intervalles de
seconde.
On construit toutes les notes du système pythagoricien, dans tout le
spectre audible, au moyen de quintes ascendantes et descendantes, et de
l'octave. Toutes les notes de l'échelle diatonique, tous les dièses et
les bémols qui, complétant cette échelle, forment avec elle
l'échelle chromatique, tous les doubles dièses et tous les doubles
bémols. Dédiant à Cinthy (étudiante en anglais du Val d'Oise,
d'origine indienne et modératrice du forum Radio Teentaal) la
représentation graphique de cet univers de sons, je l'appelé le pavage
de Cinthy. Il résulte de cette construction
l'existence de demi-tons qui ont des valeurs différentes, le demi-ton
diatonique et le demi-ton chromatique.
(Voir à la fin de la page 4 la courte discussion entre Miss Diey et
moi, qi se conclut en haut de la page 5)
L'écart entre les valeurs de ces deux demi-tons est de 1 comma
pythagoricien (qui vaut 24 points).
Texte, page 9, en conclusion de la construction du pavage de Cinthy :
- Pavage tempéré - les carreaux sont
des losanges
Caractéristiques :
-- le ton vaut 200 points,
-- le 1/2 ton chromatique vaut 100 points,
-- le 1/2 ton diatonique vaut 100 points.
- Pavage pythagoricien - les carreaux
sont des parallélogrammes
Caractéristiques :
- le ton vaut 204 points,
- le 1/2 ton chromatique vaut 114 points,
- le 1/2 ton diatonique vaut 90 points. Cet univers de sons a été construit
en partant d'un seul son, dit tonique (SA, ou DO, par
exemple) et en n'utilisant que les nombres 1, 2 et 3, leurs multiples et
les fractions qu'on peut tirer de ces nombres. On
a ainsi identifié près de la moitié des shrutis dont Nameeta Shah a
donné la valeur dans sa thèse d'étudiante de l'université de Kanpur
en 2001
( http://www.cse.iitk.ac.in/research/mtech1999/9911146.html
).
On a trouvé les shrutis du 1er paquet. (Voir la liste des shrutis en
page 2 et leur répartition en paquets en page 3).
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