plan

plan provisoire

14) harmoniques
- document : l'expérience faite par d'Alembert au violoncelle
- harmoniques : définition

15) échelle harmonique
du rapport de fréquences égal à 5, tu tireras deux tierces harmonique , la majeure et la mineure
15.1) tierce harmonique majeure
15.2) tierce harmonique mineure
15.3) comparaison avec les doubles bémol et doubles dièse
15.4) introduction au labyrinthe de Barbour
15.5) le comma syntonique et le logiciel Zarlino

16) le SI ; Anselme de Flandres. Le NI et les swaras du 3ème paquet.

17) supplément : échelle de Mercator-Holder (dite la gamme des violonistes).

d'Alembert, éléments de musique (*, Paris, 1752) --- http://www.chmtl.indiana.edu/tfm/18th/ALEMEL_TEXT.html

§ 20
Si on fait résonner un corps sonore, on entend, outre le son principal et son octave, deux autres sons très aigus, dont l'un est la douzième au-dessus du son principal, c'est-à-dire l'octave de la quinte de ce son ; et l'autre est la dix-septième majeure au-dessus de ce même son, c'est-à-dire, la double octave de sa tierce majeure.

§ 21 
Cette expérience est principalement sensible sur les grosses cordes d'un violoncelle, dont le son étant fort grave, laisse distinguer assez facilement à une oreille tant soit peu exercée, la douzième et la dix-septième dont il s'agit.

§ 22
Le son principal est appelé générateur, et les deux autres sons qu'il engendre et qui l'accompagnent, sont appelés ses harmoniques, en y comprenant l'octave.

(C'est au chapitre 1er)

D'Alembert fait distinguer par une oreille attentive la décomposition spectrale de la vibration d'une corde de violoncelle. Il choisit une corde qui joue dans les graves pour que les harmoniques ne soient pas trop aigus et puissent être bien entendus. Quand, en 1751, il écrit les élémens de musique, qui vulgarise le traité d'harmonie de Jean-Philippe Rameau (1683-1764), Jean-Baptiste Fourier (1768-1830) n'était pas encore né, qui deviendra secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences. Et Jean Le Rond, dit d'Alembert (1717-1783) n'était pas encore ni secrétaire perpétuel de l'Académie française ni même académicien.

La corde  vibre à la fréquence f et sa vibration génère le son principal, de fréquence f, et des harmoniques. Ceux-ci ont pour fréquence 2f, 3f, 4f, 5f, 6f, 7f, etc.

Au § 20, d'Alembert fait bien remarquer qu'on peut entendre le son fondamental f et son octave 2f.

Ce qu'il appelle la douzième au-dessus du son principal, c'est l'harmonique qui a pour fréquence 3f.
(Cf. sa note c, reproduite ci-après).

D'Alembert omet ici ce mentionner l'octave de l'octave (i.e. le son de fréquence 4 f). Passons car il en parle dans sa note (c).

Ce qu'il appelle la dix-septième au-dessus du son principal, c'est l'harmonique qui a pour fréquence 5f.
(Cf. sa note c).

Il a bien perçu qu'un son complexe se compose d'un vibration fondamentale (qu'il appelle le "son principal") et d'harmoniques.

NOTE (c)

Puisque l'octave au-dessus du son 1 est 2, l'octave au-dessous de ce même son 1 sera 1/2.

C'est-à-dire que la corde qui donnera cette octave fera une demi-vibration pendant que la corde qui donne le son 1 en fera une.

Pour avoir l'octave au-dessus d'un son, il faut multiplier par 2 la quantité qui exprime ce son ;
et pour avoir l'octave au-dessous, il faut au contraire diviser par 2 cette même quantité.

C'est pourquoi si un son quelconque, par exemple ut, est appelé 1,
- son octave au-dessus sera 2,
- sa double octave au-dessus 4,
- sa triple octave au-dessus 8.

De même,
- son octave au-dessous sera 1/2,
- sa double octave au-dessous 1/4,
- sa triple octave au-dessous 1/8.

Et ainsi de suite.

Sa douzième au-dessus : 3.
Sa douzième au-dessous : 1/3.

Sa dix-septième majeure au-dessus : 5.
Sa dix-septième majeure au-dessous : 1/5.

La quinte au-dessus du son 1 étant l'octave au-dessous de la douzième, sera, par ce qu'on vient de dire, 3/2.

Ce qui signifie que cette corde fait 3/2 vibrations, c'est-à-dire une vibration et demie, pendant une seule vibration de la corde qui rend le son 1.

D'Alembert nous indique tout d'abord les fréquences relatives que voici :

par rapport à une fréquence 1, fréquence de référence,
- octave au-dessus : 2 [= 1200 points]
- octave au-dessus celle-ci : 4 [= 2400 points]
- octave encore au-dessus celle-ci : 8 [= 3600 points]

- octave au-dessous : 1/2  [= - 1200 points]
- octave au-dessous celle-ci : 1/4 [= - 2400 points]
- octave encore au-dessous : 1/8 [= - 3600 points]

(Pour convertir les fréquences relatives en points - i.e. en cents - nous avons appliqué la formule d'Ellis).

- la douzième au-dessus, c'est 3 [= 1902 points]
-- dont l'octave inférieure est : 3/2  [= 1902 - 1200 = 702 points]
(c'est la quinte au-dessus du fondamental)

- la douzième au-dessous, c'est 1/3 [= - 1902 points]
-- dont l'octave supérieure c'est : 2/3
et l'octave encore au-dessus : 4/3 [498 points]
( - 1902 + (2 *1200) = 498 )

Ceci nous permet de comprendre pourquoi le système de Pythagore marche bien : autour d'une fréquence fondamentale donnée, l'univers musical pythagoricien construit sur les nombres 1à 3 comprend exclusivement des notes en rapport simple avec l'octave et le premier harmonique impair de celle-ci (3f).

Les harmonies de quinte et de quarte (outre l'unisson et l'octave) sont les premières connues de la polyphonie occidentale. 
Guillaume de Machaut (XIV°) et Clément Janequin (XVI°) les ont utilisées.

Considérant le deuxième harmonique impair (5f), la suite de la note (c) nous introduit à l'univers harmonique d'Aristoxène et de Zarlino  (construit sur les nombres 1 à 5)
(C'est Harry Partch (XX°) qui construira un instrument de musique qui se servira du 3ème harmonique impair, autrement dit un système musical basé sur les nombres 1 à 7).

Dans le système d'Aristoxène-Zarlin, les tierces sont moins dures que dans le système pythagoricien. La sixte harmonique deviendra, de fait, un intervalle de référence. Le la sera choisi comme note de référence pour une gamme de do (et non plus le do lui-même -- rappelons au passage que le changement de nom du ut en do date de la fin du XVII°). Voir aussi la note que j'ai mise page 5 sur l'échelle byzantine, descendante, où le la est au milieu de l'échelle.

On parle de système d'Aristoxène-Zarlin car il s'agit du système d'Aristoxène repris à la Renaissance par Zarlino.
Voir l'étude d'Olivier Bettens qui traite de l'intonation juste dans le chant choral a capella à la Renaissance : http://virga.org/zarlino/index.html .


Revenons à cette note (c).

- d'une part, la dix-septième au-dessus, nous dit d'Alembert, c'est 5.
l'octave en-dessous, c'est 5/2 ; et l'octave encore en dessous, c'est 5/4 [ = 385 points ] -- c'est le Ga3 (c'est un shruti du 2ème paquet)

C'est donc cette valeur-là que d'Alembert, à la suite de Rameau, définit comme intervalle de tierce majeure, à la place du  81/64 pythagoricien [= 408 points] (le Ga4).
[ 81/64 = (9/8) * (9/8) ]. Cet intervalle est plus petit que l'intervalle pythagoricien,  d'un comma de 23 points (408 - 385 = 23).

- d'autre part, la dix-septième au-dessous, c'est 1/5.
Nous y reviendrons.

La tierce majeure d'un son, par exemple, la tierce majeure mi du son ut, et sa quinte sol, forment entre elles une tierce mineure mi, sol ; 

or mi est 5/4, et sol 3/2, par ce qui vient d'être démontré : 
d'où il s'ensuit que la tierce mineure, ou l'intervalle de mi à sol, sera exprimé par le rapport de la fraction 5/4, à la fraction 3/2.

Pour déterminer ce rapport, il faut remarquer que 5/4 est la même chose que 10/8, et que 3/2 est la même chose que 12/8.
De sorte que 5/4 sera à 3/2 dans le même rapport que 10/8 à 12/8, c'est-à-dire dans le même rapport que 10 à 12, ou que 5 à 6. 

Donc, si deux sons forment entre eux une tierce mineure, et que le premier soit représenté par 5, le second le sera par 6.
Ou, ce qui est la même chose, si le premier est représenté par 1, le second le sera par 6/5.

Ainsi la tierce mineure harmonique qui se trouve dans la résonance même du corps sonore entre les sons mi et sol, harmoniques du son principal, 
peut être exprimée par la fraction 6/5.

Voici maintenant comment on trouve l'expression numérique d'un son, quand on sait le rapport qu'il doit avoir avec un autre son dont l'expression numérique est donnée. Par exemple, supposons que l'on cherche la tierce majeure de la quinte 3/2. Cette tierce majeure doit être, par ce qui a été dit ci-dessus, les 5/4 de la quinte ; car la tierce majeure d'un son quelconque est les 5/4 de ce son. Il faut donc chercher une fraction qui exprime les 5/4 de 3/2. C'est ce qui se fait en multipliant le haut et le bas des deux fractions l'un par l'autre ; d'ou résulte la nouvelle fraction 15/8. On trouvera de même que la quinte de la quinte est 9/4, parce que la quinte de la quinte est les 3/2 de 3/2.

L'octave au-dessus, c'est 2/5 et l'octave encore au-dessus, c'est 4/5 ; et celle encore au-dessus, c'est 8/5 [ = 814 points ]
(C'est le Dha 2, encore un shruti du 2ème paquet, qui est à 814 points dessus le Sa). 

En bonne logique, ce devrait être un lab.

On avait (cf. le pavage de Cinthy) un lab pythagoricien = 792 points.
On a un lab harmonique un peu plus haut, distant de celui-ci de 814-792 = 22 points.

(= 1 comma syntonique -- On a tantôt 23 points, tantôt 22 car on travaille avec des valeurs arrondies à des nombres entiers, pour simplifier la présentation des choses.
et on peut le faire puisque 1 point est bien plus petit que le pourvoir discriminant de notre oreille qui est de 4 points.  Rappel : 1 comma syntonique = 81/80).

Mais, en pratique, ce lab harmonique, il se confond avec le sol# pythagoricien qui est de 816 points.

Hypothèse : cette équivalence entre ce lab et ce sol# pourrait servir à expliquer la notion d'enharmonie (2 noms pour la même note) mentionnée par A. Danhauser son son manuel de solfège.

La valeur de 816 points n'est pas non reprise dans la liste des shrutis.

On peut translater d'1 comma syntonique vers le haut comme vers le bas toutes les notes du pavage de Cinthy (et le logiciel Zarlino nous permet de le faire). Concevoir le solfège ad hoc sera difficile : un exercice du même niveau de difficulté que celui auxquels se sont livrés les Rameau et d'Alembert, qui ont fait l'exercice inverse, et avant eux leurs prédécesseurs Zarlino et Mersenne.